در این رابطه ثابت ولی متغییر است. بنابراین N تعداد ذرات تشکیل دهنده ی جسم نجومی بایستی قابل تغییر باشد پس بحث دیراک به آفرینش و یا نابودی ذرات در جسم نجومی نیاز دارد.

۱-۲ نظریه ی برنز-دیک

نظزیه ی نسبیت عام یک نظریه تانسوری است به این معنی که تانسور متریک به تنهایی به عنوان یک میدان دینامیکی در معادلات میدان اینشتین ظاهر می شود. در نظریه های نرده ای – تانسوری این نقش بین تانسور متریک و یک میدان نرده ای تقسیم می شود در این گونه نظریه ها هندسه فضا-زمان توسط متریک فضا-زمان و یک میدان نرده ای توصیف می شود مهمترین این نظریه ها نظریه ی است که در در سال ۱۹۶۱ ارائه شد . این نظریه به عنوان تعمیمی بر مبنای اصل ماخ برای نظریه ی نسبیت عام اینشتین است. کنش این نظریه به شکل زیر نوشته می شود .

که در آن کنش ماده و یک پارامتر بدون بعد است. در کنش فوق ماده به طور مستقیم با جفت نشده است چون لاگرانژین مستقل از است. اما به طور مستقیم با تابع ریچی جفت می شود میدان گرانشی به وسیله ی تانسور و تابع نرده ای توصیف می شود. این و دمای مربوط به سیستم دینامیک سیستم را تشکیل می دهد. تابع ، تعمیم طبیعی ثابت کیهانشناسی است و ممکن است مقدار ثابت یا یک جمله ی جرمی را تشکیل دهد .
در فیزیک کمیت های دارای بعد در یکاهای مختلف مقادیر متفاوتی دارند بنابراین و با توجه به فرضیه ی اعداد بزرگ مبنایی برای ثابت ماندن جرم ذرات در عالم در حال تحول وجود ندارد. بنابراین چگونه می توان دو جرم که در نقاط مختلف فضا که درحال تحول هستند را با هم مقایسه کرد. بایستی به دنبال یکای مستقلی باشیم تا بتوانیم افزایش و کاهش جرم را نسبت به آن اندازه گیری کنیم. این یکا را یکای گرانی یعنی جرم پلانک تعریف می کنیم .

کمیّت که یک کمیّت بدون یکا است و در تمام یکاهای اندازه گیری دارای مقدار یکسانی است. اگر از یکای اتمی استفاده کنیم تغییر تعیین می کند که ثابت گرانشی در حال تغییر است. این نتیجه گیری است که برنز-دیک در رهیافت به اصل ماخ به آن رسیدند. آنها در پی چارچوبی بودند که در آن ثابت گرانشی ناشی از ساختار عالم باشد بطوریکه متغییر پیامد یک عالم ماخی متغییر باشد. اگر به صورت عکس میدان نرده ای تغییر کند یعنی باشد در این صورت در یک معادله ی موج نرده ای صدق کند که چشمه ی این موج تمام ماده ی موجود در عالم است .

در این رابطه تریس تانسور انرژی-تکانه، عملگر موج است. آنها به معادله ی موج نرده ای که با چشمه های مادی برای انتظار می رفت رسیدند.
اگر در معادله ی ۱-۱۶ ثابت جفت شدگی خیلی زیاد شود( ) نظریه ی برنز-دیک به نظریه ی نسبیت عام تبدیل می شود. چون این نظریه علاوه بر تنسور حاوی میدان نرده ای نیز می باشد به آن نظریه ی نرده ای-تانسوری گرانش می گویند .

فصل دوم

نسبیت عام وکیهانشناسی

۲-۱ نسبیت عام و اصول آن

نسبیت عام که در سال ۱۹۱۵توسط آلبرت اینشتین ارائه شد، کاملترین نظریه ای که در حال حاضر برای توصیف نیروی گرانش وجود دارد. در مقایسه این نظریه با مکانیک نیوتونی باید گفت که در مکانیک نیوتونی، ماده در یک ساختار فضا و زمانی ثابت قرار داشته و حرکت آن مورد مطالعه قرار می گیرد این بدان معنی است که حضور و حرکت ماده تحت تاثیر فضا و زمان نبوده و همچنین آن را تحت تاثیر قرار نمی دهد .
اما نسبیت عام(که تعمیم نظریه نسبیت خاص می باشد) نظریه ای در باره ی ساختار هندسه فضا-زمان است. حضور و حرکت ماده در این نظریه تحت تاثیر متقابل فضا – زمان می باشد. نسبیت عام بر مبنای اصول پایه گذاری شده است.
اصل ماخ
اصل هم ارزی
اصل جفت شدگی کمینه
اصل هموردایی عام

۲-۱-۱ بیان های مختلف اصل ماخ

هندسه بدون ماده معنی ندارد بلکه فاصله ی بین اجسام است که این مفهوم را انتزاعی می-کند البته این بیان اصل ماخ با نسبیت عام ناسازگار است زیرا اگر تانسور انرژی-تکانه صفر باشد، معادلات اینشتین قابل حل هستند و هندسه های متفاوتی را توصیف می کنند.
۲- لختی هر ذره ناشی از یک نوع برهمکنش میان آن ذره و بقیه ی جرم های موجود در عالم است. یعنی لختی ویژگی ماده و زمینه ای است که بقیه ی عالم را به وجود آورده است. در دیدگاه نیوتونی لختی از ویژگی های ماده است اما طبق این بیان اصل ماخ لختی به وجود زمینه بستگی دارد اگر زمینه ای وجود نداشته باشد این معیار از بین می رود.
یک جسم در فضای کاملاً تهی هیچ خاصیت هندسی به خود نمی گیرد.
توزیع ماده چگونگی هندسه را تعیین می کند، نسبیت عام با این بیان اصل ماخ سازگار است .

۲-۱-۲ اصل هم ارزی

یکی از اصول اساسی نسبیت عام، اصل هم ارزی است این اصل به دو صورت زیر بیان می شود.
الف) اصل هم ارزی ضعیف: در فیزیک وجود دو جرم و برابری آنها سالها در نظریه گرانش مورد مورد بحث بوده است یکی از این دو جرم، جرم لختی است که در قانون دوم نیوتون به صورت نسب نیرو به شتاب تعریف می شود و میزان مقاومت جسم در برابر شتاب را اندازه می گیرد. نوع دیگر جرم گرانشی است که در معادله ی نیروی گرانشی بین دو جسم بکار می رود. اصل هم ارزی ضعیف برابری این دو جرم را بیان می کند طبق این بیان همه ی ذرات در میدان گرانشی دارای شتاب یکسانی هستند. بنابراین مسیر حرکت ذرات در یک میدان گرانشی مستقل از نوع ذرات است .
ب) اصل هم ارزی قوی: طبق این بیان قوانین فیزیک در نسبیت عام در هر ناحیه از فضا-زمان که به اندازه ی کافی کوچک باشد باید به قوانین نسبیت خاص تبدیل شوند. به بیان دیگر نمی توان وجود میدان گرانشی را با آزمایش های موضعی آشکار کرد. یا هیچ آزمایشی موضعی وجود ندارد که بتواند تفاوت سقوط آزاد غیر چرخان در یک میدان گرانشی را از حرکت یکنواخت در نبود میدان گرانشی در فضا مشخص کند .
می توان گفت که ایده اصلی این اصل از جهانی بودن گرانش گرفته شده است. به عبارت دیگر گرانش روی تمام اجسام به یک طریق و به طور یکسان مؤثر است(آزمایش معروف گالیله را یادآور می شویم). این ویژگی جهانی بودن، اینشتین را به یک ایده انقلابی راهنمایی کرد چیزی که ما در طبیعت به شکل نیروی گرانشی تجربه می کنیم در حقیقت چیزی به جزء انحنای فضا-زمان نیست .

۲-۱-۳ اصل جفت شدگی کمینه

این اصل بیان می کند که اگر بخواهیم قوانین فیزیک را در هندسه خمیده بنویسیم باید ابتدا شکل آن قوانین را در نسبیت خاص و در یک دستگاه لخت در نظر بگیریم. سپس شکل تانسوری آن قوانین را به گونه ای بنویسیم که تحت تبدیلات مختصات هموار باشند. اگر قوانین فیزیکی را در یک هندسه تخت در نظر بگیریم، طبق این اصل بایستی به جای متریک مینکوفسکی متریک نسبیت عام و به جای مشتقات جزئی از مشتقات هموردا استفاده کنیم. به عنوان مثال در نسبیت خاص قانون پایستگی انرژی – تکانه به صورت که با توجه به اصل جفت شدگی کمینه تعمیم این قانون در نسبیت عام به صورت است .
۲-۱-۴ اصل هموردایی عام
تمام نا ظرها اعم از لخت و نالخت هم ارز هستند. به عبارتی ناظرهای همه ی چارچوب های لخت و نالخت قوانین فیزیک را یکسان می بینند. این امر مستلزم آن است که معادلات فیزیکی به گونه ای نوشته شوند تا شکل ریاضی آنها از دید تمام ناظرها، یکسان باشد. این ابزار ریاضی تانسور است پس معادلات فیزیک بایستی شکل تانسوری داشته باشند. ثابت ماندن کمیت های نرده ای مهمترین نکته -ای است که در این اصل به حساب می آید. در نسبیت عام عنصر جهان خط یک کمیت ناوردا است، پس طبق این اصل همواره و تحت تمام تبدیلات ثابت می ماند. البته این بیان تا زمانی اعتبار دارد که متریک ویژه ی چارچوب مورد نظر تغییر نکند.

۲-۲تانسور انرژی- تکانه

باتوجه به فرم کلی معادله ی ایشتین این معادله از بخش هندسی و مادی تشکیل شده است. در این قسمت به بررسی بخش مادی این معادله می پردازیم. توزیع ماده در جهان را می توان به کمک یک تانسور انرژی-تکانه تعریف کرد. اگر یک ابر سطح سه بعدی که توسط چهار بردار نرمال مشخص می شود در نظر بگیریم در این صورت کمیت چهاربردار تکانه وابسته به این ابر سطح برابر است :

بسته به انتخاب بردار نرمال می توان مولفه های مختلف محاسبه کرد به عنوان مثال:

اگر چگالی تکانه را به صورت تعریف کنیم داریم:

در حالت کلی مولفه های این تانسور را می توان به شکل ماتریس زیر نوشت:

برای درک بهتر مولفه های تانسور انرژی-تکانه بایستی توجه کنیم که برابر شار تکانه ای است که در جهت از سطح ثابت عبور می کند.
اگر از یک چهارچوب مرجع همراه ذره^[۲] استفاده کنیم در این صورت مجموع تکانه های فضایی سیستم صفر است. هنگامی که در سیستم هیچگونه شارش گرمایی وجود نداشته باشد
پس در یک سیال بدون ویسکوزیته و شارش گرمایی در یک چهار چوب مرجع همراه ذره تانسور انرژی-تکانه به شکل زیر نوشته می شود :