اشاره کرد.
در ادامه با طرح دو مثال، بهینه‌سازی مقید و نامقید را جهت تکمیل توضیحات بالا مورد مورد ارزیابی قرار می­دهد.
مثال ۳- ۱- کمینه‌سازی تابع نامقید
فرض کنید می‌خواهیم کمینه مقدار تابع جبری زیر را بدست آوریم:
(۳-۱۰)
به بیان دیگر می‌خواهیم ترکیبی از متغیرهای x₁,x₂ را طوری پیدا کنیم که رابطه ۳-۱۰ کمینه گردد. بردارX شامل x₁,x₂ است که ما آنها را متغیرهای طراحی می‌نامیم. هیچ محدودیتی بر x₁,x₂ اعمال نشده است و این متغیرها هر مقدار حقیقی را می‌توانند بپذیرند. از طرفی هیچ شرایط خاص دیگری نیز جهت قابل قبول بودن جواب بر مسئله حکم‌فرما نیست. بنابراین این مسئله را، مسئله نامقید می‌نامیم. شکل(۳-۲) نمایی از این تابع را نشان می‌دهد. خطوط هم‌مقدار تابع به ازای مقادیر مختلف رسم شده است. این تابع به خاطر شکل هندسی خود به نام تابع موزی شناخته می‌شود.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

شکل(۳-۲) نمایی از تابع جبری
تابع ۳-۱۰ دارای دو متغیر است. در حالت کلی تابع می‌تواند دارای n متغیر باشد. در اینجا این تابع دو متغیره می‌تواند ما را با مفاهیم اساسی بهینه‌سازی آشنا نماید.
از شکل( ۳-۲) می‌توان حدس زد که به ازای مقادیر x₁=1,x₂=1 تابع F(X) کمترین مقدار خود را خواهد داشت. ما هم چنین از ریاضیات به یاد داریم که در نقاط بهینه یا کمینه تابع F(X)، مشتق‌های جزئی تابع نسبت به x₁,x₂ باید برابر صفر باشد. بنابراین خواهیم داشت:
(۳-۱۱)
(۳-۱۲)
با حل دو معادله فوق به مقادیر x₂=1, x₁=1 دست خواهیم یافت. البته لازم به یادآوری است که شرط صفر بودن مشتق‌های جزئی برای کمینه بودن شرط لازم است ولی شرط کافی نیست.
در این مثال ما قادر بودیم که به نقطه کمینه تابع از دو طریق گرافیکی و محاسباتی دست یابیم. البته این یک مثال کوچک بود که فقط جهت آشنایی با مسائل نامقید آورده شد. در بیشتر مسائل کاربردی مهندسی کمینه مقدار تابع را نمی‌توان به صورت تحلیلی بدست آورد. از طرفی اگر متغیرهای طراحی محدود به یک بازه مشخص باشند و یا شرایط دیگری بر پذیرش و یا عدم پذیرش جواب بهینه تابع حکم‌فرما باشد، مسئله پیچیده‌تر خواهد شد.
مثال ۳-۲- کمینه‌سازی توابع مقید
شکل (۳-۳)الف ستون لوله‌ای به ارتفاع h را که باید نیروی محوری خالص P را تحمل نماید نشان می‌دهد. می‌خواهیم قطر و ضخامت پروفیل را به نحوی تعیین کنیم که وزن ستون کمینه شود. وزن ستون از طریق رابطه ۳-۱۳ بدست می‌آید.
(۳-۱۳)
که در این رابطه A سطح مقطع، ρ چگالی ماده سازنده ستون می‌باشد.
توجه داشته باشید که بار به صورت محوری خالص فرض شده است و جهت ساده‌سازی مسئله، از خروج از مرکزیت بار و نقص و عیب ستون چشم‌پوشی می‌کنیم. تنش ایجاد شده در ستون از طریق رابطه ۱-۱۴ بدست می‌آید.
شکل(۳-۳) فضای طراحی مربوط به مسئله طراحی ستون به صورت نامقید
(۳-۱۴)
به طوری که تنش در حالت فشاری مثبت فرض می‌شود. با توجه به ماده سازنده ستون این تنش نباید از حد مجاز تجاوز نماید. علاوه بر تنش مجاز ستون، تنش ایجاد شده در ستون نباید به حدی برسد که ستون به صورت کلی یا جزئی که در شکل‌های (۳-۳) ب‌ و پ نشان داده شده است، کمانش نماید. تنشی که در آن کمانش کلی اتفاق می‌افتد (تنش اولر) در رابطه ۳-۱۵ نشان داده شده ‌است.
(۳-۱۵)
که در این رابطه E مدول یانگ و I ممان اینرسی سطح مقطع می‌باشد. تنشی که در آن کمانش جزئی اتفاق می‌افتد توسط رابطه ۳-۱۶ بیان می‌شود.
(۳-۱۶)
که در این رابطه،υ نسبت پواسون می‌باشد.
ستون باید طوری طراحی شود که بزرگی تنش ایجاد شده در ستون از سه مقدار و کمتر شود. این موارد به صورت ریاضی تحت روابط ۳-۱۷ تا ۳-۱۹ داده شده‌اند.
(۳-۱۷)
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
علاوه بر قیدهای مربوط به تنش، طرح نهایی باید قیدهای هندسی ستون مانند بزرگ‌تر بودن قطر از ضخامت و مثبت بودن شعاع و ضخامت را نیز ارضا کند. این قیدها به صورت ریاضی در روابط ۳-۲۰ تا ۳-۲۲ داده شده‌اند.
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
حال می‌توان مسئله را به این صورت بیان نمود که می‌خواهیم مقدار تابع:
(۳-۲۳)
را کمینه کنیم به طوری که:
(۳-۲۴-الف)
(۳-۲۴-ب)
(۳-۲۴-پ)
(۳-۲۴-ت)
(۳-۲۵-الف)
(۳-۲۵-ب)
جهت خلاصه کردن صورت مسئله رابطه ۳-۲۳ تابع هدف را نشان می‌دهد و روابط ۳-۲۴و ۳-۲۵ نیز قیدهای حاکم بر مسئله را مطرح می‌کند. توجه داشته باشید که روابط ۳-۲۴-الف تا ۳-۲۴-ت شکل نرمال شده روابط ۳-۱۹ تا ۳-۲۱ می‌باشند. قیدهای ذکر شده در روابط ۳-۲۵ اغلب به عنوان قیدهای مرزی مطرح می‌شوند. زیرا آنها به طور مستقیم مرزهای مقادیر متغیرهای طراحی را مشخص می‌کند.
۳-۵- روش های بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت
بسیاری از سیستمهای زنده و غیر زنده طبیعی، نسبت به سیستمهای ساخت دست بشر از لحاظ کارایی برتری دارند. این امر محققان را بر آن داشته که سیستمهای طبیعی را به عنوان الگوی طراحی سیستمهای مهندسی مورد توجه قرار دهند. این گونه تلاشها به ایجاد مجموعه روش های بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت منجر شده است و به دو زیر مجموعه اصلی تقسیم می شوند، که عبارتند از: (الف) روش های مبتنی بر طبیعت جاندار (ب) روش های الهام گرفته از طبیعت بی جان.
روش های مبتنی بر طبیعت جاندار، از فرایند تکامل جانداران در طبیعت ایده گرفته است. در این فرایند، ویژگیهای جانداران بهبود می یابد تا بهتر بتوانند با محیط سازگار شوند و در رقابت با جانداران دیگر برای دستیابی به منابع محدود طبیعت پیروز گردند. دو گروه عمده این زیر مجموعه، الگوریتم های وراثتی و تکاملی می باشند.
روش های الهام گرفته از طبیعت بی جان، در فرایند های فیزیکی موجود در طبیعت ریشه دارند. تعداد این روشها بسیار کم است. از روش های این زیر مجموعه شبیه سازی باز پخت فلزات می باشد. از روش های دیگر این زیر مجموعه، روش مبتنی بر فرایند آشوب است.
بر اساس طبقه بندی کلی روش های بهینه سازی، روش های بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت را باید وابسته به گروه روش های مستقیم دانست.
توجه به این نکته ضروری است که روش های بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت، برتری مهمی بر روش های جستجوی تصادفی دارند. روش های جستجوی تصادفی تنها از استراتژی جستجوی کلی برخودارند، در حالیکه روش های بهینه سازی الهام گرفته از طبیعت بطور همزمان هر دو استراتژی کلی و محلی را به اجرا می گذارند. در ادامه جهت آشنایی بیشتر با الگوریتم­های بهینه­یابی الهام گرفته از طبیعت به توضیح مختصری از الگوریتم نمونه­های از این روش­ها پرداخته می­ شود.
۳-۵-۱- مختصری بر الگوریتم ژنتیکی