به این طریق، M یک حل معادله موج برداری در دستگاه مختصات کروی می­باشد. بنابراین با محاسبه M و متناظر با آن N به عنوان حل­های پایه، می­توان میدان­ها را در قسمت­ های مختلف محیط پیدا کرد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همان­طور که بیان شد، حل معادله موج برداری به حل معادله موج اسکالر تقلیل یافت. در دستگاه مختصات کروی این معادله به صورت زیر است:
با بهره گرفتن از روش جداسازی متغیر­ها و نوشتن به صورت زیر:
و قرار دادن آن در رابطه (۴-۸۴) به سه رابطه زیر می­رسیم:
جواب­های معادله (۴-۸۶) به شکل واضحی مشخص و به صوررت دو مجموعه جواب زوج و فرد می­باشد:
با در نظر گرفتن تک مقدار بودن ، مقادیر به مقادیر صحیح محدود می­ شود.
معادله (۴-۸۷) معادله وابسته لژاندر می­باشد و جواب­های آن به صورت می­باشد که در آن n=0,1,2,3,… و می­باشد. این توابع بر­هم عمودند و رابطه عمود بودن آن­ها به صورت زیر می­باشد:
در معادله (۴-۸۸) اگر کمیت بدون بعد را تعریف کنیم و همچنین تعریفی به صورت را داشته باشیم، آن­گاه به معادله زیر می­رسیم:
جواب­های مستقل خطی این معادله توابع بسل از نوع اول و دوم هستند که مرتبه آن­ها برابر می­باشد. این توابع به عنوان توابع بسل کروی شناخته می­شوند و به صورت زیر تعریف می­شوند:
از طرفی هر ترکیب خطی از این دو تابع، می ­تواند جواب معادله (۴-۸۸) باشد که به دلیل عمود بودن و تمامیت، دو ترکیب زیر بسیار مورد توجه می­باشند:
بنابراین، در مجموع دو جواب برای به صورت زیر به دست می ­آید:
که در آن به جای هر کدام از توابع ، ، و می­توانند قرار بگیرند. به دلیل کامل بودن این توابع و همچنین توابع ، و توابع وابسته لژاندر، هر تابعی که در معادله موج اسکالر صدق کند، می ­تواند به صورت یک سری بی­نهایت از این توابع بسط داده شود. توابع برداری هارمونیک نیز از طریق روابط (۴-۸۲) و (۴-۸۳) به صورت زیر به دست می­آیند:
که با محاسبه به صورت زیر نوشته می­شوند:
۴-۴-۱-بسط موج تخت در هارمونیک­های کروی برداری:
همان­طور که در قسمت قبل بیان شد، تمامی میدان­های برخوردی، داخلی و پراکنده شده باید بر­حسب هارمونیک­های کروی برداری که در قسمت قبل در روابط (۴-۱۰۰) تا (۴-۱۰۳) به دست آمدند، محاسبه شوند. میدان برخوردی را یک میدان تخت با قطبش در راستای می­گیریم:
حال می­بایست ضرایب بسط این میدان را بر حسب هارمونیک­های کروی برداری پیدا کرد:
با توجه به خواص عمود بودن توابع و ، به راحتی می­توان به صورت دو به دو عمود بودن مجموعه­های زیر بر هم را به ازای تمام مقادیر m اثبات کرد. این مجموعه ها به صورت زیر هستند:
از طرفی نیز، به همین دلیل دو مجموعه دوتایی زیر به ازای همه مقادیر m به جز حالت m= بر هم عمود می­باشند.
برای این دو مجموعه در حالت m= به انتگرالی به شکل زیر می­رسیم:
که به ازای تمام مقادیر n و صفر می­ شود. با بهره گرفتن از خواص توابع وابسته لژاندر نیز می­توان به راحتی روابط زیر را ثابت کرد:
با توجه به روابط به دست آمده به راحتی می­توان گفت که ضرایب بسط در رابطه (۴-۱۰۶) به شکل زیر می­باشند:
برای نیز روابطی به همین شکل صادق است. مجددا به دلیل خواص عمود بودن سینوس و کسینوس به راحتی می­توان ثابت کرد که به ازای همه m و n­ها داریم:
به همین دلیل دو ضریب دیگر نیز به ازای تمام مقادیر به جز m=1 صفر می­شوند و می­توان میدان برخوردی را به صورت زیر بسط داد:
که در آن بالانویس (۱) به آن اشاره دارد که در روابط مربوط به هارمونیک­های برداری کروی، (روابط (۴-۱۰۰) تا (۴-۱۰۳)) به جای از استفاده شده است. دلیل این امر محدود بودن موج تخت در مبدا می­باشد که فقط آن را ارضا می­ کند.
با اندکی محاسبه و استفاده از خواص توابع بسل کروی به راحتی می­توان به نتیجه زیر رسید:
و در نتیجه میدان تخت با قطبش در راستای بر حسب هارمونیک­های کروی به صورت زیر بسط داده می­ شود:
میدان مغناطیسی نیز با بهره گرفتن از قانون ماکسول و محاسبه کرل رابطه (۴-۱۱۷) به صورت زیر به دست می ­آید:
۴-۴-۲- میدان­های داخلی و پراکنده شده:
حال کره­ای به شعاع a که یک موج الکترومغناطیسی با قطبش در راستای به آن برخورد می­ کند را در نظر می­گیریم. میدان­های داخلی و پراکنده شده نیز می­بایست بر حسب هارمونیک­های کروی برداری بسط داده شوند. در مرز بین کره و محیط اطراف شرط مرزی زیر که برابر بودن میدان­های الکتریکی و مغناطیسی مماسی دو طرف را بر روی مرز در نظر می­گیرد، وجود دارد:
این شرط مرزی به همراه خاصیت عمود بودن وکامل بودن هارمونیک­های کروی و شکل بسط میدان برخوردی، شکل بسط میدان­های داخلی و پراکنده شده را بیان می­ کند. ضرایب بسط این میدان­ها برای همه مقادیر m به جز حالت m=1 باید برابر صفر باشد. از طرفی لازمه محدود بودن میدان­ها برای میدان داخل کره، باعث می­ شود که تنها توابع بسل نوع اول، ­ها در بسط میدان داخل حضور داشته باشند. با در نظر گرفتن تمام این ملاحظات، میدان داخل را می­توان به صورت زیر بسط داد:
که در آن تعریف شده است.
برای میدان­های پراکنده شده، چون در مناطق دور از کره هر دو تابع و خوش رفتار می­باشند پس باید ترکیبی از این دو تابع انتخاب شود. اما معمول است که برای این کار از توابع هنکل استفاده شود. شکل مجانبی توابع هنکل به صورت زیر می­باشد:
معادله اول نشان­دهنده یک موج کروی بیرون رونده می­­باشد در حالی که معادله دوم نشان­دهنده یک موج وارد شونده می­باشد. پس برای بسط میدان پراکنده شده که یک میدان بیرون رونده است باید از توابع هنکل مرتبه اول در روابط مربوط به هارمونیک­های کروی برداری به جای استفاده کرد. بدین ترتیب میدان پراکنده شده به صورت زیر بسط داده می­ شود:
که بالانویس (۳) بیان کننده این مطلب است که در روابط مربوط به هارمونیک­های برداری کروی از توابع هنکل مرتبه اول استفاده شده است.
۴-۴-۳- توابع وابسته زاویه­ای:
در تئوری می، نتایج اغلب برای راحتی در محاسبات بر حسب توابع وابسته زاویه­ای بیان می­شوند که به صورت زیر تعریف می­شوند:
اگر چه این توابع بر یکدیگر عمود نیستند اما به راحتی می­توان عمود بودن توابع به شکل مجموع یا تفاضل این توابع را به صورت زیر ثابت کرد:
حال با بهره گرفتن از این توابع می­توان هارمونیک­های کروی برداری را به صورت ساده­تری و به شکل زیر بازنویسی کرد:
۴-۴-۴- ضرایب پراکندگی:
قبل از محاسبه سطح مقطع پراکندگی، جذب و خاموشی لازم است که ضرایب پراکندگی، و که در رابطه (۴-۱۲۴) آمده­اند، محاسبه شوند. برای انجام این کار باید شرایط مرزی در مرز کره و محیط اطراف برقرار شوند. این شرایط مرزی در معادله (۴-۱۱۹) داده شده ­اند و مولفه­های آن به صورت زیر می­باشند.
با اعمال این شرایط مرزی در سطح کره، می­توان ضرایب بسط میدان داخل را به صورت زیر به دست آورد:
و با بهره گرفتن از این دو ضریب، ضرایب پراکندگی به صورت زیر به دست می­آیند:
که در این روابط ، پارامتر اندازه و m، ضریب شکست نسبی به صورت زیر تعریف شده ­اند:
که در آن N و به ترتیب ضریب شکست محیط اطراف و کره می­باشند.
۴-۴-۵- محاسبه سطح مقطع:
اکنون در موقعیتی هستیم که می­توان سطح مقطع­های پراکندگی، جذب و خاموشی را با بهره گرفتن از روابط به دست آمده در چند قسمت قبل و رابطه (۱۱۴) به دست آورد. با توجه به روابط (۱۱۲) و (۱۱۳) برای میزان انرژی خاموش شده و پراکنده روابط زیر را داریم:
با توجه به میدان­های به دست آمده و روابط معرفی شده تا کنون، می­توان سطح مقطع­ها را محاسبه کرد که جزئیات محاسبات در اینجا آورده نمی­ شود و در صورت لزوم می­توان به مرجع شماره [۷۹] مراجعه کرد:
۴-۴-۶- تئوری می برای کره پوشیده شده: