در این شکل a) لایه هایی با ثابت دی الکتریک مشابه ، b) لایه هایی با ثابت دی الکتریک و به طور یک در میان، c) لایه هایی با ثابت دی الکتریک و به طور یک در میان. باند گاف های فوتونی به طورت نواحی سایه دار نشان داده شده‌اند.
در شکل(۳-۵-a) هر دو لایه دی الکتریک دارای ثابت دی الکتریک یکسان هستند، بنابراین یک صفحه واحد از دی الکتریک را تشکیل می‎دهند که یک دوره متناوب مصنوعی به آن نسبت داده شده است.شکل (۳-۵-b)و(۳-۵-c) پراکندگی انتشار نور از میان بدنه ی دی‎الکتریک که لایه‎های آن ثابت‎های دی الکتریک متفاوت دارند را نشان می‎دهد. نمودارهای (b) و © از بسیاری جهات مشابه نمودار a هستند بجز ناحیه ای از فضای فرکانسی که در آنجا مد فوتونی وجود ندارد، که این فضا به عنوان گاف در تراز فوتونی شناخته می‎شود.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۶ روش های عددی در تحلیل بلورهای فوتونی
پیچیدگی و حجم بالای محاسبات، هر گونه راه حل تحلیلی برای معادلات حاکم بر بلورفوتونی را عملاً غیر ممکن می‎سازد، به همین دلیل راه حل های عددی همواره مورد توجه خاصی بوده اند.
تا کنون روش های محاسباتی زیادی برای انجام تحقیقات بر روی ساختار های دارای گاف نواری فوتونی^[۶۴]و محاسبات عددی طیف عبوری بلورهای فوتونی و به‌دست آوردن مدهای میدان الکترومغناطیس در حوزه زمان و بسامد وجود دارد که هر یک مزیت و کاستی ویژه خود را داراست. به عنوان مثال، روش ماتریس انتقال^[۶۵]]۵۴[، روش بسط موج کروی^[۶۶]]۵۵[، روش بسط موج تخت^[۶۷] ]۵۶[، روش تفاضل محدود در حوزه‎ی زمان^[۶۸]]۵۷[، روش المان محدود^[۶۹]]۵۸[، و غیره. این روش ها به دو دسته تقسیم می‎شوند: روش های عددی حوزه‎ی زمان که ارزیابی زمانی میدان ها را با شرایط دلخواه در یک دستگاه گسسته ( تفاضل محدود ) مدل بندی می‎کنند، و روش های حوزه بسامد که مستقیماً میدان ها و بسامدها را توسط قطری کردن ویژه عملگرها استخراج می‎کند. از جمله معروف ترین روش های حوزه‎ی بسامد می‎توان به روش های مبتنی بر بسط های گوناگون اشاره کرد. روش ماتریس انتقال می‎تواند برای به دست آوردن طیف گذار بلورهای فوتونی محدود به وسیله محاسبات مربوط به هر لایه استفاده شوند. روش بسط موج کروی تنها برای آن کریستال هایی که از کره ها یا استوانه های دی الکتریک ساخته شده اند قابل استفاده است ولی همگرایی آن تقریباُ خوب است. روش FDTD به معنای تفاضل در حوزه زمان است و از معروف ترین روش های محاسباتی در بررسی و تحلیل بلورهای فوتونی است. این روش بر اساس انتگرال زمانی از معادلات ماکسول است. ابتدا معادلات ماکسول را به شکل گسسته در می آورند و سپس به طور همزمان حل می‎کنند. اگر چه این روش بسیار دقیق است و امکان محاسبات دقیق وجود دارد ولی زمان محاسبات در این روش بسیار طولانی است و به ظرفیت حافظه زیادی نیاز دارد. روش بسط موج تخت یک روش در حوزه فرکانس است و از آن می‎توان برای به دست آوردن ساختار باند و مدهای میدان استفاده نمود. روش بسط موج تخت] ۵۹[ بر اساس بسط فوریه از میدان داخلی و تابع دی الکتریک است و برای بلورهای فوتونی دو بعدی، تا زمانی که بردار موج در موج تخت تابشی در صفحه دو بعدی x-y وجود دارد، قابل استفاده است. مزیت آن نسبت به سایر روش ها این است که می توان بازتاب براگ را نیز همزمان محاسبه کرد.
به طور کلی مزیت روش های قابل اعتماد در حوزه بسامد، سرعت بالاتر آنها نسبت به روش های حوزه زمان است. در روش های مبتنی بر حوزه زمان معمولاً اطلاعات بیشتری از شبیه سازی انجام شده قابل استخراج است. از دیگر روش های متداول و دقیق برای شبه سازی بلور های فوتونی می‎توان روش تفاضل محدود و المان محدود در دو حوزه بسامد و زمان اشاره کرد. روش بسط موج تخت یک روش حوزه ی فرکانس است و می‎تواند ساختار باند میدان های مد را بدست آورد. در این پروژه هدف بررسی ساختار های بلور فوتونی به روش بسط موج تخت است که در ادامه به بررسی این روش می‎پردازیم.
۳-۷ روش بسط امواج تخت
روش بسط موج تخت اولین بار توسط سیگلاس و همکارانش در مطالعه ساختار نوار بلورهای فوتونی بکار گرفته شد]۶۰[. نقطه شروع برای بررسی انتشار امواج الکترومغناطیس در بلور فوتونی حل معادلات ماکسول است. روش بسط موج تخت شامل بسط توابع متناوب در سری فوریه مناسب و قرار دادن بسط در معادله موج است. نتیجه یک مساله ویژه مقداری ماتریس نامحدود است. در حل مساله ویژه مقداری، طیفی ازفرکانس ها ( یعنی ساختار باند ) و بسط ضرایب برای ویژه مدهای بلاخ بدست می‎آید.
۳-۸ محاسبات نظری مربوط به بسط امواج تخت
۳-۸-۱ قطبش
در حالت بلورفوتونی دو بعدی، تمام مشتقات نسبت به z صفر می‎شوند و مطالعه انتشار نور در راستای صفحه سطح مقطع بلور محدود می‎شود، به عنوان مثال صفحه xy . این خاصیت، امکان مطالعه جداگانه مسائل مربوط به حالت قطبش نور را فراهم می‎کند. در قطبش های TMوTE ، نور تابشی در حالت دو بعدی اهمیت پیدا می‎کند. در حالت قطبش TM، مؤلفه های میدان مغناطیسی با صفحه ی xy موازی هستند و است. در حالت قطبش TE، است و مؤلفه های میدان الکتریکی در صفحه قرار دارند. در بلورهای فوتونی دی الکتریک گاف نواری برای این دو نوع قطبش متفاوت بروز می‎کند.
۳-۹ معادلات انتشار در بلور فوتونی به روش بسط موج تخت
در این قسمت، فرمول های روش بسط موج تخت برای محاسبه موج عبور و بازتاب براگ از یک بلور دو بعدی را بیان می‎کنیم.‎ این روش برای هر بلور فوتونی دو بعدی، تا زمانی که بردار موج مربوط به موج تخت تابشی در صفحه دو بعدی x-y قرار دارد، قابل استفاده است. در شکل زیر نمونه ای برای این محاسبات، آورده شده است.
شکل (۳-۶) سطح مقطع بلور فوتونی دو بعدی متشکل از استوانه های طویل دی‌الکتریک]۵۹[.
در شکل (۳-۶) موج تخت خارجی در ناحیه ۱ به سمت چپ نمونه ای که در ناحیه ۲ وجود دارد برخورد می‎کند. این نمونه از N لایه میله دایره ای به شعاع r ساخته شده است. ثابت دی الکتریک میله ها و پس زمینه به ترتیب و است. ثابت شبکه در جهت محور x و در جهت محور y است. فاصله بین سطح و اولین لایه از میله ها را با d نشان داده شده است. هنگامی که با شبکه مربعی سرو کار داریم مقدار یکسانی برای و در نظر می‎گیریم. ثابت دی الکتریک برای نواحی ۱ و ۳ به ترتیب و ، و ضخامت کلی این نمونهL=(N-1) +2(r+d) است. از آنجایی که بلور فوتونی ممکن است به عنوان توری دوره‎ای^[۷۰]در نظر گرفته شود، میدان مغناطیسی در ناحیه ۱ بر موج تخت تابشی و موج های بازتاب براگ منطبق است و در ناحیه ۳ از امواج انتقالی براگ ساخته شده است. بردار موج دو بعدی مربوط به موج تخت تابشی، توسط نشان داده شده است. در اینجا زاویه تابشی، ، فرکانس زاویه ای میدان تابشی است. بردارهای موج عبوری و بازتاب براگ از مرتبه n ، به شکل زیر هستند]۵۹[.
(۳-۴۹)
(۳-۵۰)
معادله بردار موج به دست آمده توسط معادلات ماکسول، هنگامی که بردار موج در صفحه x-y وجود دارد و میدان به محور z وابسته نیست، می‎تواند به دو معادله عددی^[۷۱] کاهش پیدا کند. این دو معادله، قطبش E( برای حالتی که میدان الکتریکی موازی محور z )و قطبش H ( برای حالتی که میدان مغناطیسی موازی محور z ) هستند. بدلیل شرایط مرزی مماسی میدان های الکتریکی و مغناطیسی در مرزها، میدان ها در منطقه ۱ و ۳ به وسیله قطبش هایشان مشخص می‎شوند.
۳-۱۰ روش تئوری محاسبه طیف عبوری از بلور فوتونی به روش بسط موج
تخت
در این قسمت روابط مربوط به طیف انتشار در بلور فوتونی و طیف عبوری و بازتاب براگ بیان می‎شود]۵۹[. موج تخت خارجی راست رونده به ضلع جلویی نمونه که در ناحیه ۲ جایگزیده شده و شامل N لایه میله دایروی با شعاعr در یک پیش زمینه دی الکتریک است، برخورد می‎کند در شکل(۳-۶)، _: ثابت دی الکتریک میله ها، _: ثابت دی الکتریک زمینه ، _۱و _۳: ثابت دی الکتریک مناطق یک و سه و ضخامت کل نمونه بصورت زیر است.
(۳-۵۱)
از آنجاییکه بلور فوتونی می‌تواند مانند یک توری متناوب محسوب ‎شود، میدان الکترومغناطیسی در ناحیه ۱ حاصل بر هم‌نهی موج تخت فرودی و امواج بازتابیده براگ است، در حالیکه در ناحیه ۳ میدان ترکیبی از امواج براگ عبوری است. معادلات بردار موج که از معادلات ماکسول استخراج شده، زمانیکه بردار موج در صفحه (x-y)قرار می گیرد یا بعبارتی زمانیکه میدان مستقل از مختصات zاست، تبدیل به معادلات اسکالر مستقل می شود. این مد قطبش E نامیده می‌شود اگر میدان الکتریکی موازی محور z باشد و قطبشH اگر میدان مغناطیسی موازی محور z باشد. اکنون معادلات میدان را برای قطبش E یا همان مد TEبیان می‌کنیم، میدان الکتریکی در ناحیه ۲ در رابطه ویژه مقداری زیر صدق می‌کند]۵۹[.
(۳-۵۲)
عملگر دیفرانسیلبا اولین تساوی در معادله فوق تعریف می‌شود. با توجه به معادله فوق، معادله میدان در نواحی ۱و۳ با در نظر گرفتن مولفه های عبور و بازتاب براگ بصورت زیر خواهد بود]۵۹[.
(۳-۵۳)
(۳-۵۴)
در رابطه (۴)، : بزرگی (دامنه) میدان الکتریکی موج فرودی،: دامنه امواج بازتاب براگ،: دامنه امواج انتشار یافته براگ و L طول کل نمونه است. توابع و را بصورت زیر تعریف می‌کنیم]۵۹[.
(۳-۵۵)
(۳-۵۶)
با جایگذاری روابط فوق در معادلهو مقایسه ضرایب فوریه مستقل بعد از اندکی محاسبات به معادلات زیر می رسیم.
(۳-۵۷)
با اعمال شرایط مرزی در هر ۲ ناحیه داریم:
(۳-۵۸)
π(۳-۵۹)
روابط (۷) و (۸) ضرایب نا معلوم و و را معرفی می‌کنند که در محاسبات عددی واقعی تعداد ضرایبی که در بسط فوریه ظاهر می‎شود محدود می‌کنیم و معادلات خطی را حل می کنیم]۵۹[.
۳-۱۰-۱ اثبات رابطه (۳-۵۷)
در معادله، و و را جایگذاری می‎کنیم.
(۳-۶۰)
در رابطه بالا به صورت زیر است.
(۳-۶۱)
و نیز به صورت زیر هستند.
(۳-۶۲)
(۳-۶۳)
در رابطه از روابط زیر استفاده می‎کنیم .
(۳-۶۴)
(۳-۶۵)
بنابراین را می‎توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
(۳-۶۶)
(۳-۶۷)
برای اثر دادن روی و باید ( را روی هر یک از عبارات محاسبه کرد.
(۳-۶۸)