=۰,
=۰,
حل معادله برای شرایط بحرانی :

W=
باجایگزین کردن W= در تابع لاگراژین و با بهره گرفتن از بعنوان قید جدید مساله بهینه را می‌توان به شکل زیر بیان کرد:
یافتن ماکزیمم مقدار
(۱-۶)
در مورد رابطه:
برای هر نمونه آموزشی در ضرب کننده لاگرانژ یک وجود دارد. که این نمونه‌‌ها‌ به ازای هر مثبت به بردارهای پشتیبان موسوم هستند. در نهایت با داشتن مقادیر و حل مساله، رابطه پیش‌بین‌گر، ماشین بردار پشتیبان‌‌ بصورت زیر بیان می‌شود:
(۱-۱)f(x) = (+b)=
که مقدار b برابر است با:
(۱-۷) b =
مجموعه بردارهای پشتیبان است.

• • تفکیک ناپذیری :

تکنیک جداسازی داده‌ در یک فضای ویژه با تابع نگاشت ‌‌غیرخطی که این قابلیت جداسازی بصورت خطی بود؛ بیان گردید. برای شرایطی که تفکیک ناپذیری در داده وجود داشته باشد. در نظر گرفتن متغیری بنام لقی() ضروری است (شکل(۱-۸)).
معادلاتی که در بخش تفکیک پذیری بیان شد. با در نظر گرفتن متغیر لقی بصورت زیر بیان می‌شود:
f() = [w, ]+ b ≥ ۱- , for =1
f() = [w, ]+ b ≤ −۱+ , for = −۱:
شکل(۱-۸): جداسازی با متغیر لقی
برای اینکه الگوریتم از راندمان خوبی برای جداسازی برخوردار باشد نیاز به بهینه سازی ساختار ماشین بردار پشتیبان‌‌ خواهد بود که با در نظر گرفتن شروط فوق مطابق مراحل زیر انجام می‌پذیرد.
یافتنx وb کمینه:
(۱-۸)
در رابطه
+b)
مساله بهینه می‌تواند با بهره گرفتن از تابع لاگراژین بدست آید:
L(w,b,α)=w-[+b)-1+]+ ≥ ۰,
جایی که ضرب کننده‌های‌‌ لاگرانژ هستند با لحاظ و با در نظر گرفتن همه شرط‌‌ها‌ داریم:
= w-
(۱-۹) = –
= C–
{Φ(}=۰ ,, ۰ ,≥۰ ,≥۰
با جایگذاری در تابع لاگراژین و با بهره گرفتن از بعنوان قید جدید مساله بهینه می‌شود:
یافتن کمینه
(۱-۱۰)
که در نهایت مساله ماشین بردار پشتیبان‌‌ بفرم زیر تبدیل می‌شود:
f(x) = (+ b)=
b =
از آنجایی که داده‌‌‌ها‌ در مساله آموزشی بفرم نقطه هستند ابتدا نگاشت دیتا در فضای H اقلیدوسی (هیلبرت) با بهره گرفتن از تابع نگاشت ‌‌غیرخطی که بصورت
→H,x→
تعریف می‌شود؛ انجام می‌پذیرد.
الگوریتم آموزشی تنها وابسته به داده‌ نقاط است. و می‌توانیم یک هسته مثبت معین (تابع تبدیل) بکار برد. برای تعمیم نقاط خواهیم داشت:
(۱-۱۱)
که برای تست الگوریتم از تابع علامت^[۲۲] با رابطه(۱-۱۲) زمانی‌که بعنوان بردار پشتیبان است (یعنی ) صورت می‌پذیرد.
(۱-۱۲) f (x) =
و برای کاربردهایی که مستلزم جداسازی در فضای متفاوت می‌باشد. از تابع نگاشت غیرخطی استفاده می‌گردد. که متداولترین آنها در ماشین بردار پشتیبان‌‌ تابع تبدیل چند جمله‌ای و تابع با پایه شعاعی^[۲۳] است [۱۳].
(۱-۱۳) )
۱-۴ مروری بر روش های استخراج “Trend”
بیشترین روش‌ها‌‌ی استفاده ابزاری از استخراج “Trend” شامل تقریب یا تخمین سیگنال بصورت تکه‌ای خطی یا استخراج بصورت قطعات نرم در فرم نمایی است. نتیجه اینکه، اطلاعات به صورت فشرده و با ‌رگرسیون‌خطی در دسترس قرار‌می‌گیرد. محققان در تحلیل‌ها‌‌ی تصویری و نیز در موارد مربوط به داده‌کاوی، معمولا بر روی تقریب خطی کار می‌‌کنند. و این ‌در‌حالی است، که داده‌ها‌‌ی مربوط به فرآیندهای صنعتی غالبا دارای مدل غیرخطی هستند. مناسب‌ترین روش برای داشتن یک برآزش خوب استفاده از روش ‌میانگین‌مربعات خطاست^[۲۴]. که در این حالت تقریب یک سیگنال می‌‌تواند به صورت تکه‌ای یا قطعاتی از توابع ‌‌‌چند‌جمله‌ای و هم به صورت توابع پایه‌ای ازقبیل “Wavelets” یا “B-splines” آنچه که در بخش قبل اشاره شد؛ در‌نظر ‌گرفته ‌شود.
روش پنجره زمانی ثابت:
روش پنجره زمانی ثابت که در این ‌پایان‌نامه استفاده‌ شده ‌است. روشی‌است که در آن مجموعه داده‌ها‌‌ به تکه‌ها‌‌ی مساوی با طول برابر تقسیم‌شده و تابع چندجمله‌ای با درجه m روی داده برآزش‌می‌شود (رگرسیون). در هر قطعه از سیگنال با فرض عدم وجود خطا، خواهیم‌داشت:
ماتریس اطلاعات ورودی و خروجی معلوم سیستم در لحظه t می‌‌باشد که برابر: