: مقدار واقعی در زمان t

: مقدار پیش‌بینی شده در زمان t

: خطای پیش ­بینی

روش تعدیل نمایی دوبل یا دوگانه همانند روش تعدیل نمایی یگانه است با این تفاوت که روند هم به آن اضافه شده است و از آن­جا که در این روش روند زمانی مورد استفاده قرار گرفته است تصور می­ شود که دقت پیش ­بینی بهبود یابد از این­رو در این پژوهش علاوه بر روش تعدیل نمایی یگانه از این روش نیز استفاده می­ شود. (نیرومند و دیگران، ۱۳۸۹: ۱۴۲)

روش هموارسازی نمایی دوبل از طریق سه رابطه (۲-۱۸)، (۲-۱۹) و (۲-۲۰) تعریف می­ شود:

F(t) = (A_t) + (1- )F(t-1) (2-18)

F^‘(t) = (F_t) + (1- ) F^‘ (t-1) (19-2)

f (t+h) = F ^‘(t) (2-20)

در معادات فوق F(t) پیش ­بینی با بهره گرفتن از روش تعدیل نمایی یگانه و F^‘(t) پیش ­بینی با بهره گرفتن از روش تعدیل نمایی دوگانه است.

روش­های هموار­سازی نمایی هالت وینتزر غیر­فصلی (با دو پارامتر)

در این پژوهش از روش هموارسازی نمایی هالت- وینترز استفاده شده است که تفاوت آن با روش تعدیل نمایی یگانه یا دوگانه این است که روش ساده یا دوبل دارای یک پارامتر ثابت در معادله است ولی در روش هالت از دو پارامتر در معادله استفاده شده است. این روش برای سری­های با روند زمانی خطی و سری­های غیر­فصلی استفاده می­ شود. شکل کلی مدل هالت وینترز به­ صورت رابطه (۲-۲۱) است.

Ŷ_t+k = a + bk (2-21)

که a و b جزء مؤلفه‌ ­های دایمی هستند. این دو ضریب با معادله­های (۲-۲۲) و (۲-۲۳) تعریف می­شوند.

A(t) = αy_t + (۱-α)(α(t-1) + b(t-1)) (2-22)

B(t) = β(a(t) – a(t-1)) +1 – βb(t-1) (2-23)

که در آن ۱> α، β، γ>0 و فا کتورهای تعدیل­کننده است.

پیش ­بینی­ها به­وسیله رابطه (۲-۲۴) محاسبه می­شوند.

(۲-۲۴) Y_t+k= a(t) + b(t) k

این پیش ­بینی­ها در روند خطی با عرض از مبدأ (T)a و شیب (T)b به­کار می­روند.

روش هالت-وینتزر ضربی )با سه پارامتر)

این روش برای سری­هایی با روند زمانی خطی و تغییرات فصلی افزایشی (ضربی) به­کار برده می­ شود. ( نیرومند و دیگران، ۱۳۸۹: ۱۴۸)

که سری­های هموار شده به­ صورت رابطه (۲-۲۵) به­دست می­آیند.

Ŷ_{t +k} = (a + bk) c_t+k (۲-۲۵)

که در آن a ضریب ثابت و b روند و c فاکتور افزاینده فصلی است.

این سه ضریب به­وسیله روابط (۲-۲۶)، (۲-۲۷) و (۲-۲۸) تعریف می­شوند.

(۲-۲۶) Α(t) =α

B(t) =β (a(t) – a(t-1)) + (1-β) b(t-1) (2-27)

C_t(t) = γ (۲-۲۸)

که در آن ۱>α، β و γ>0 فا کتورهای تعدیل­کننده هستند و s فراوانی فصلی است که در محل دوره فصلی قرارمی­گیرد.

در این روش پیش ­بینی­ها به­وسیله رابطه (۲-۲۹) محاسبه می­شوند.

Ŷ_t+k = (a(t) + b(t) k) c _{t+k –e} (۲-۲۹)

که فاکتورهای فصلی از آخرین s تخمین زده شده به­کار گرفته شدند .

روش هالت-وینتزر جمعی (با سه پارامتر )

این روش برای سری­هایی با روندزمانی خطی و تغییرات فصلی جمع­شونده به­کار برده می­ شود. (نیرومند و دیگران، ۱۳۸۹: ۱۵۱)

که سری­های هموار شده بارابطه (۲-۳۰) به­دست می­آیند.

(۲-۳۰) Ŷ_t+k = a + k b + c _t+k

که a و b جزء مؤلفه‌ ­های دایمی هستند و cفاکتور جمع­شونده فصلی است.

این سه ضریب با روابط (۲-۳۱)، (۲-۳۲) و (۲-۳۳) تعریف می­شوند.

A (t) = α ( y_t – c_t ( t – s)) + (1- α) (a (t- 1) + b (t- 1)) (2-31)

B (t) = β ( a (t) – a (t- 1)) + 1 – β b (t- 1) (2-32)

C_t (t) = γ ( y_t – a (t+ 1)) – γ c_t (t- s) (2-33)

که در آن ۱>α، β و γ>0 و فا کتورهای تعدیل­کننده هستند و s فراوانی فصلی است که در محل دوره فصلی قرارمی­گیرد.

پیش ­بینی­ها به­وسیله رابطه (۲-۳۴) محاسبه می­شوند.

(۲-۳۴) Ŷ_{t + k} = a (t) + b(t) k + c_{t + k – s}

که فاکتورهای فصلی از آخرین s تخمین زده شده به­کار گرفته شدند.

۲-۱۲ ارزیابی عملکرد روش­های مختلف پیش ­بینی و انتخاب بهترین مدل پیش ­بینی

مطالعات مختلفی در زمینه ارزیابی عملکرد روش­های پیش ­بینی انجام شده است. هدف از انجام این پژوهش­ها تعیین بهترین روش یا معیار ارزیابی عملکرد این روش­ها بوده است. بر این اساس، معیارهای متنوعی برای بررسی دقت روش­های مختلف پیش ­بینی وجود دارد که رایج­ترین آن­ها معیار ریشه میانگین مجذور خطاهای پیش ­بینی(RMSE^[33]) است. در این پژوهش نیزاز معیار RMSE جهت ارزیابی عمکرد استفاده می­ شود که ارزیابی عملکرد بر اساس کمترین مقدار معیار یا کمترین خطای پیش ­بینی است.

RMSE مجذور میانگین مربع خطاهای پیش ­بینی است که به­ صورت رابطه (۲-۴۱) محاسبه می­ شود.

(۲-۳۵)

که در آن:

: مقدار واقعی در زمان t

: مقدار پیش‌بینی شده در زمان t

N : تعداد کل مشاهدات

از آن­جایی که ، خطای پیش ­بینی ( )است. رابطه (۲-۴۱) را ‌می‌توان به صورت رابطه (۲-۴۲) بیان کرد.

(۲-۳۶)

۲-۱۳ آزمون والد-ولفویتز

روش والد-ولفویتز بر اساس علامت­های حاصل از اختلاف بین اعداد موجود در یک سری با میانه آن سری است. اگر یک سری nتایی بوده و میانه آن باشد، سری علامت های جملات اخلال ( ) مورد توجه خواهد بود. یک دوره بر این اساس مشاهداتی از جملات اخلال را در بر ‌می‌گیرد که دارای علامت مشابه هستند. تعداد دوره موجود در یک سری کاملاً تصادفی به­ صورت رابطه (۲-۴۳) محاسبه می­ شود (دی، ۱۹۶۵).

(۲-۳۷)

که درآن p تعداد مثبت ها، تعداد منفی­ها، n تعداد نمونه و E(D) تعداد دوره موجود در یک سری کاملاً تصادفی است. واریانس تعداد دوره­ ها در یک سری کاملاً تصادفی به­ صورت رابطه (۲-۴۴) محاسبه می­ شود.

(۳۸-۲)

در رابطه (۲-۳۸) واریانس تعداد دوره­ ها در یک سری کاملاً تصادفی است. تابع آزمون به­ صورت نرمال با میانگین E(D) و واریانس است. این تابع به­ صورت رابطه (۲-۳۹) است.

t = (39-2)

که درآن D تعداد دوره در سری مورد مطالعه است. t محاسباتی از t جدول کوچک­تر باشد فرض _{H0 مبنی} بر تصادفی بون سری پذیرفته می­ شود.

۲-۱۴ پیشینه پژوهش

الف) تحقیقات انجام شده در داخل کشور

گیلا نپور و کهزادی(۱۳۷۶) با بهره گرفتن از مدل ARIMA قیمت برنج تایلندی را پیش ­بینی نمودند.

مجاوریان و امجدی (۱۳۷۸) قیمت مرکبات را با بهره گرفتن از روش­های معمول سری زمانی و توابع مثلثاتی پیش ­بینی نمودند.

قاسمی و همکاران(۱۳۷۹) نیز به پیش ­بینی قیمت شیر با بهره گرفتن از شبکه­ های عصبی مصنوعی و مدل ARIMA پرداخته و دریافتند که خطای پیش ­بینی مدل شبکه عصبی ۹ تا ۲۲ درصد کمتر از مدل ARIMA است.